Движение тела, брошенного вертикально вверх. Брошено вертикально вверх начальной скоростью Тело подброшено вертикально вверх с начальной скоростью

Свободно падающее тело может двигаться прямолинейно или по криволинейной траектории. Это зависит от начальных условий. Рассмотрим это подробнее.

Свободное падение без начальной скорости (υ 0 = 0) (рис. 1).

При выбранной системе координат движение тела описывается уравнениями:

\(~\upsilon_y = gt, y = \frac{gt^2}{2} .\)

Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h \[~t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]. Подставляя найденное время в формулу для скорости, получим модуль скорости тела в момент падения\[~\upsilon = \sqrt{2gh}\].

Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \(~\vec \upsilon_0\) (рис. 2).

Движение тела описывается уравнениями:

\(~\upsilon_y = \upsilon_0 - gt, y = \upsilon_0 t - \frac{gt^2}{2} .\)

Из уравнения скорости видно, что тело движется равнозамедленно вверх, достигает максимальной высоты, а затем движется равноускоренно вниз. Учитывая, что при y = h max скорость υ y = 0 и в момент достижения телом первоначального положения y = 0, можно найти\[~t_1 = \frac{\upsilon_0}{g}\] - время подъема тела на максимальную высоту;

\(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0}{2g}\) - максимальная высота подъема тела;

\(~t_2 = 2t_1 = \frac{2 \upsilon_0}{g}\) - время полета тела;

\(~\upsilon_{2y} = -\upsilon_0\) - проекция скорости в момент достижения телом первоначального положения.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 14-15.

Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ 0 , оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a = - g = - 9 , 81 υ c 2 .

Рисунок 1

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

t m a x - это время, за которое тело достигает максимальной высоты h m a x = h , при υ = 0 , а сама высота h m a x может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной h m a x , то оно обладает скоростью υ = 0 и ускорением g . Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения h m a x изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h 0 . Общее время тела примет обозначение t , время свободного падения - t п, конечная скорость υ к, отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h 0 = 0 .

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υ к тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ 0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Рисунок 2

Примеры решения задач

Пример 1

Тело было брошено вертикально вверх с высоты 25 метров со скоростью 15 м / с. Через какой промежуток времени оно достигнет земли?

Дано: υ 0 = 15 м / с, h 0 = 25 м, g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: t .

Решение

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 15 + 15 2 + 9 , 8 · 25 9 , 8 = 3 , 74 с

Ответ: t = 3 , 74 с.

Пример 2

Был брошен камень с высоты h = 4 вертикально вверх. Его начальная скорость равняется υ 0 = 10 м / с. Найти высоту, на которую сможет максимально подняться камень, его время полета и скорость, с которой достигнет поверхности земли, пройденный телом путь.

Само по себе тело вверх, как известно, не движется. Его нужно «бросить», т. е. сообщить ему некоторую начальную скорость направленную по вертикали вверх.

Брошенное вверх тело движется, как показывает опыт, с таким же ускорением, как и свободно падающее тело. Это ускорение равно и направлено вертикально вниз. Движение тела, брошенного вверх, - это тоже прямолинейное равноускоренное движение, и формулы, которые были написаны для свободного падения тела, годны и для описания движения тела, брошенного вверх. Но при написании формул надо учесть, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости: скорость тела по абсолютному значению не увеличивается, а уменьшается. Поэтому, если ось координат направить вверх, проекция начальной скорости будет положительна, а проекция ускорения - отрицательна, и формулы примут вид:

Так как тело, брошенное вверх, движется с уменьшающейся скоростью, то наступит такой момент, когда скорость станет равной нулю. В этот момент тело будет находиться на максимальной высоте. Подставив в формулу (1) значение получим:

Отсюда можно найти время, которое требуется для того, чтобы тело поднялось до максимальной высоты:

Максимальную высоту определяем из формулы (2).

Подставив в формулу получим

После того как тело достигнет высоты оно начнет падать вниз; проекция его скорости станет отрицательной, а по абсолютной величине будет возрастать (см. формулу 1), высота же будет уменьшаться со временем согласно формуле (2) при

Пользуясь формулами (1) и (2), легко убедиться в том, что скорость тела в момент его падения на землю или вообще туда, откуда оно было брошено (при h = 0), равна по абсолютной величине начальной скорости а время падения тела равно времени его подъема.

Падение тела можно рассматривать и отдельно как свободное падение тела с высоты Тогда мы можем воспользоваться формулами, приведенными в предыдущем параграфе.

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время? Решение. Скорость тела вычисляется по формуле

К исходу четвертой секунды

Знак означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, т. е. в конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема.

Величину перемещения тела найдем по формуле

Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути равна максимальной высоте подъема плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз:

Значение вычислим по формуле

Подставив значения получаем: сек

Упражнение 13

1. Стрела выпущена из лука вертикально вверх со скоростью 30 м/сек. На какую высоту она поднимется?

2. Тело, брошенное с земли вертикально вверх, упало через 8 сек. Найдите, на какую высоту оно поднялось и какова была его начальная скорость?

3. Из пружинного пистолета, находящегося на высоте 2 м над землей, вылетает вертикально вверх шарик со скоростью 5 м/сек. Определите, на какую максимальную высоту он поднимется и какую скорость шарик будет иметь в момент падения на землю. Сколько времени шарик находился в полете? Каково его перемещение за первые 0,2 сек полета?

4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/сек. На какой высоте оно окажется через 3 и 5 сек и какие при этом у него будут скорости? Принять

5 Два тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями. Одно из них достигло вчетверо большей высоты, чем другое. Во сколько раз его начальная скорость была больше начальной скорости другого тела?

6. Брошенное вверх тело пролетает мимо окна со скоростью 12 м/сек. С какой скоростью оно будет пролетать мимо того же окна вниз?

Данный видеоурок предназначается для самостоятельного изучения темы «Движение тела, брошенного вертикально вверх». В ходе этого занятия учащиеся получат представление о движении тела, находящегося в свободном падении. Учитель расскажет о движении тела, брошенного вертикально вверх.

На предыдущем уроке мы рассмотрели вопрос движения тела, которое находилось в свободном падении. Напомним, что свободным падением (рис. 1) мы называем такое движение, которое происходит под действием силы тяжести. Направлена сила тяжести вертикально вниз по радиусу к центру Земли, ускорение свободного падения при этом равно .

Рис. 1. Свободное падение

Чем же будет отличаться движение тела, брошенного вертикально вверх? Отличаться будет тем, что начальная скорость будет направлена вертикально вверх, т. е. тоже можно считать по радиусу, но не к центру Земли, а, наоборот, от центра Земли вверх (рис. 2). А вот ускорение свободного падения, как вы знаете, направлено вертикально вниз. Значит, можно сказать следующее: движение тела по вертикали вверх в первой части пути будет движением замедленным, причем это замедленное движение будет происходить тоже с ускорением свободного падения и тоже под действием силы тяжести.

Рис. 2 Движение тела, брошенного вертикально вверх

Давайте обратимся к рисунку и посмотрим, как направлены вектора и как это сочетается с системой отсчета.

Рис. 3. Движение тела, брошенного вертикально вверх

В данном случае система отсчета связана с землей. Ось Oy направлена вертикально вверх, так же как и вектор начальной скорости. На тело действует сила тяжести, направленная вниз, которая сообщает телу ускорение свободного падения, которое тоже будет направлено вниз.

Можно отметить следующую вещь: тело будет двигаться замедлено , поднимется до некоторой высоты , а потом начнет ускоренно падать вниз.

Максимальную высоту мы обозначили , при этом .

Движение тела, брошенного вертикально вверх, происходит вблизи поверхности Земли, когда ускорение свободного падения можно считать постоянным (рис. 4).

Рис. 4. Вблизи поверхности Земли

Обратимся к уравнениям, которые дают возможность определить скорость, мгновенную скорость и пройденное расстояние при рассматриваемом движении. Первое уравнение - это уравнение скорости: . Второе уравнение - уравнение движения при равноускоренном движении: .

Рис. 5. Ось Oy направлена вверх

Рассмотрим первую систему отсчета - систему отсчета, связанную с Землей, ось Oy направлена вертикально вверх (рис. 5). Начальная скорость тоже направлена вертикально вверх. На предыдущем уроке мы уже говорили, что ускорение свободного падения направлено вниз по радиусу к центру Земли. Итак, если теперь уравнение скорости привести к данной системе отсчета, то мы получим следующее: .

Это проекция скорости в определенный момент времени. Уравнение движения в этом случае имеет вид: .

Рис. 6. Ось Oy направлена вниз

Рассмотрим другую систему отсчета, когда ось Oy направлена вертикально вниз (рис. 6). Что от этого изменится?

. Проекция начальной скорости будет со знаком минус, так как ее вектор направлен вверх, а ось выбранной системы отсчета направлена вниз. В этом случае ускорение свободного падения будет со знаком плюс, потому что направлено вниз. Уравнение движения: .

Еще одно очень важное понятие, которое нужно рассмотреть, – понятие невесомости.

Определение. Невесомость – состояние, при котором тело движется только под действием силы тяжести.

Определение . Вес – сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие притяжения к Земле.

Рис. 7 Иллюстрация к определению веса

Если тело вблизи Земли или на небольшом расстоянии от поверхности Земли будет двигаться только под действием силы тяжести, то оно не подействует на опору или подвес. Такое состояние и называется невесомостью. Очень часто невесомость путают с понятием отсутствия силы тяжести. В данном случае необходимо помнить, что вес – это действие на опору, а невесомость – это когда на опору действие не оказывают. Сила тяжести – это сила, которая всегда действует вблизи поверхности Земли. Эта сила – результат гравитационного взаимодействия с Землей.

Обратим внимание на еще один важный момент, связанный со свободным падением тел и движением вертикально вверх. Когда тело движется вверх и движется с ускорением (рис. 8), возникает действие, приводящее к тому, что сила , с которой тело действует на опору, превосходит силу тяжести . Если такое происходит, это состояние тела называется перегрузкой, или говорят, что само тело испытывает перегрузку.

Рис. 8. Перегрузка

Заключение

Состояние невесомости, состояние перегрузки - это экстремальные случаи. В основном, когда тело движется по горизонтальной поверхности, вес тела и сила тяжести чаще всего остаются равными друг другу.

Список литературы

1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Государственное издательство технико-
3. теоретической литературы, 2005. - Т. 1. Механика. - С. 372.
4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание, передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.

1. Интернет-портал «eduspb.com» ()
2. Интернет-портал «physbook.ru» ()
3. Интернет-портал «phscs.ru» ()

Домашнее задание

Задача 10001

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 0 =4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью v 0 вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

Задача 14412

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 9,8 м/с. Построить график зависимости высоты h и скорости v от времени t для интервала 0 ≤ t ≤ 2 с через 0,2с.

Задача 14513

Камень массой m = 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 9,8 м/с. Построить график зависимости от времени t кинетической W к, потенциальной W п и полной W энергий камня для интервала 0 ≤ t ≤ 2 с.

Задача 13823

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с и достигло высшей точки подъема через 2,5 с. Каким было среднее значение силы сопротивления воздуха, действовавшей на тело во время подъема? Масса тела 40 г.

Задача 18988

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 15 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,2 с расстояние между ними стало равным h = 5 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 18990

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 20 м/с, тело В падает с высоты Н = 5 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,1 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 18992

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 7,5 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,8 с расстояние между ними стало равным h = 16 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 18994

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 25 м/с, тело В падает с высоты Н = 23 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,32 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 18996

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 12,5 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,24 с расстояние между ними стало равным h = 2 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 18998

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 22 м/с, тело В падает с высоты Н = 21 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,5 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19000

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 5 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 1,4 с расстояние между ними стало равным h = 7 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19002

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 6,25 м/с, тело В падает с высоты Н = 6 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,8 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19004

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 25 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,2 с расстояние между ними стало равным h = 11 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19006

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 8 м/с, тело В падает с высоты Н = 19 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 1,25 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19008

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 10 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,7 с расстояние между ними стало равным h = 3 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19010

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 12 м/с, тело В падает с высоты Н = 17 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 1,0 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19012

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 20 м/с, тело В падает с высоты Н с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,35 с расстояние между ними стало равным h = 5 м. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19014

Тела А и В движутся навстречу друг другу по одной вертикали. Тело А брошено вертикально вверх с начальной скоростью v 01 = 12,5 м/с, тело В падает с высоты Н = 9 м с начальной скоростью v 02 = 0. Тела начали двигаться одновременно и через время t = 0,4 с расстояние между ними стало равным h. Найти H, t 1 . Определить время, спустя которое тела встретятся.

Задача 19390

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,5 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 4,9 м/с, в моменты времени t 1 = 0,2 с и t 2 = 0,8 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19392

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,5 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 4,9 м/с, в моменты времени t 1 = 0,4 с и t 2 = 0,6 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19394

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,2 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 19,6 м/с, в моменты времени t 1 = 0,8 с и t 2 = 3,2 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19396

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,2 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 19,6 м/с, в моменты времени t 1 = 1,6 с и t 2 = 2,4 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19398

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,4 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 12,25 м/с, в моменты времени t 1 = 0,5 с и t 2 = 2 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19400

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,4 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 12,25 м/с, в моменты времени t 1 = 1 с и t 2 = 1,5 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19402

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,6 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 2,45 м/с, в моменты времени t 1 = 0,1 с и t 2 = 0,4 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19404

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,6 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 2,45 м/с, в моменты времени t 1 = 0,2 с и t 2 = 0,3 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19406

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,3 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 14,7 м/с, в моменты времени t 1 = 0,6 с и t 2 = 2,4 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19408

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,3 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 14,7 м/с, в моменты времени t 1 = 1,2 с и t 2 = 1,8 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19410

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,25 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 9,8 м/с, в моменты времени t 1 = 0,4 с и t 2 = 1,6 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19412

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,25 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 9,8 м/с, в моменты времени t 1 = 0,8 с и t 2 = 1,2 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19414

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,1 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 24,5 м/с, в моменты времени t 1 = 1 с и t 2 = 4 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.

Задача 19416

Рассчитать значения кинетической, потенциальной и полной энергии тела массой m = 0,1 кг, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 24,5 м/с, в моменты времени t 1 = 2 с и t 2 = 3 с. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии от времени.